相位 領先-落後-單相-三相-原來是這樣

電力公司供電有分為單相與三相,每個相之間可能會領先或是落後,到底甚麼是 相位? 相位的領先與落後又是怎麼回事? 阿信助教來為各位簡單說明吧。

家裡的交流電

你我家裡的交流電基本上長得如下圖這個樣子,上面紅色是+110V、下方藍色是-110V,誰正誰負不重要,重要的是一正一負,這個稱為單相。

110V line with 0 and 180 deg phase
110V line with 0 and 180 deg phase

這時可能有人會說,這哪裡是單相? 我學過數學,這兩條火線的波形差了180度,所以一個是0度另一個是180度,有兩種角度應該稱為”雙相”吧。呃…這位老兄的邏輯其實不能說他錯,只是他的定義與實務上的定義不同。在實務上電力系統所謂的單相,是指我們只用發電廠過來的三相電其中一個相位。

家庭用電之所以會有反相的情況,是因為變壓器接線的關係。如下圖左右兩個變壓器都是一樣的規格6.6KV/220V,若二次側的0V接在中間,則上下分別為+110V與-110V,也就是一般市電的接法;若0V接在最下方,則會得到+220V,不管怎麼接它們都稱為單相電,因為左邊的6.6KV是來自輸電線的其中一個相位。

Single phase connection
Single phase connection

甚麼是 相位 Phase

在英文裡面Phase是指一件事情的階段,在波形的敘述上我們也用相位Phase來敘述波形在某時間點的階段。大家最熟悉的應該就是正弦波,來回振盪一次在數學上的週期稱為\(2 \pi\),也稱為360度。只是大家都習慣把弦波從0度開始畫,再結束於360度(或稱為下一個0度),其實從任何角度開始畫弦波都可以,只要開始與結束是同一個角度就行。

在工程上我們經常使用cos來表示波形,由於波形要會動所以我們會在角度的地方以角頻率乘以時間\(\omega t\)來表示不斷前進的角度,至於波形的起始角度就以\(\theta\)來表示,也稱為相位角,公式寫起來就像下面這個樣子,s(t)可以是電壓或電流。

\(s(t)=Acos(\omega t + \theta)\)

你可以想像有個長度為A的半徑,不斷的繞著原點旋轉,它的投影量就是這個s(t)波形,所以繞一圈剛好就是一個週期的cos波形,就像下圖一樣,雖然下圖只有標示起始相位,你可以當作它是t=0時的位置,隨著時間移動,半徑便開始逆時針旋轉。至於圖中的座標軸,橫軸為實數縱軸為虛數,為何會有虛數? 是因為我引用了歐拉公式,未來較好分析,這個後面會談到,實際的波形要看實軸上面的訊號變化。

Phasor of cosine waveform
Phasor of cosine waveform

剛才我們有提到其實繞一圈不見得要從\( \theta=0\)開始繞,若你有5個頻率相同的波形,各自從不同的\( \theta\)開始繞,你在時間軸上就會看到5個形狀一樣的波形,只是有些靠左邊一些有些靠右邊一些,這些左右差距稱為相位差,如下圖。

Waveform phase shift
Phase shift waveform

雖然有相位差的波形在示波器上可以很明顯地看到波形彼此的時間差距,但我們在討論相位差的時候,都還是以角度來討論,因為相位角才是真正影響波形左右位移的主角。

相位領先Lead-相位落後Lag

接著我們實際畫出2個有相位差的波形,下圖是把剛才在複數平面的圓形逆時針轉90度,這樣才好把波形橫著畫出來,你可以看到圓周上有兩個點-紅色與綠色,它們的投影量在左邊的垂直線上,也就是直線運動的紅點與綠點,如果再沿著時間軸把投影量的位置一個個記錄起來,你就會看到波形,也就是下面這張圖。

相位領先與落後 green wave leads red wave, red wave lags green wave
green wave leads red wave, red wave lags green wave

所謂相位領先與落後是很直觀的,以黃色圓上的兩個點來說,綠點跑在前面,紅點跑在後面,這應該不用多做說明。換成觀察它們左方的投影量,也就是直線上下運動的點,你也能明白看出綠點居於領先地位,紅點居於落後地位。

以上圖為例,很明顯的結論就是,綠點領先紅點90度,反過來說紅點落後綠點90度,也可以說綠色波形領先紅色波形90度,或是紅色波形落後綠色波形90度。

也許有人會說領先90度能否說成落後270度? 因為位置都是一樣的,答案是可以,只是這樣敘述很不直觀,也很難跟別人溝通,所以大家都會挑比較近的角度來說明相位差。

若把波形寫成數學式,落後相位的波形相位角為負數,領先相位的波形相位角為正數。

\(s_{g}(t)=Acos(\omega t)\) …Green waveform
\(s_{r}(t)=Acos(\omega t – 90^{\circ})\) …Red waveform

相量圖Phasor

你應該會發現,使用三角函數來表達波形,真的很沒有親和力,要是多來幾個波形,那豈不是要算到昏倒? 因此科學家們引進了複數平面的相量圖的概念。原本的波形公式是這樣:

\(s_{1}(t)=Acos(\omega t +0^{ \circ} )\)
\(s_{2}(t)=Acos(\omega t +\theta)\)

假設時間靜止t=0的話,cos裡面的角度只剩下相位角,若以S1為基準的話,相位表示式就如下面這樣:

\(\vec{s_{1}}=A\angle 0^{ \circ}\)
\(\vec{s_{2}}=A\angle \theta\)

所以在複數平面畫成圖的話,就是下圖這個樣子。相量S1與S2的加減,完全就是向量運算,算完的結果最後只要投影在水平的實數軸上,就幾乎能想像最後的波形長甚麼樣子了,這樣有沒有很方便? 應該有吧! 基本上只要用畫的就能得到大概的答案,這就是相量圖厲害的地方,真的要算角度與長度再來動筆算。

Phasor
Phasor

只是…訊號都是實數,那為何會冒出含虛數座標的複數平面? 是的,我們的波形都是實數,之所以會採用複數,只是為了要幫助分析而已,並非表示虛數會出現在生活中,它只是數學上創造出來的東西而已,虛數在當時可能也沒想到會對工程上的分析有幫助。虛數能當作分析工具,這要歸功於18世紀的數學家兼工程師Euler,他發現三角函數與複數之間的關係,可以用指數的複數次方來表示,也就是這個著名的Euler formula:

\(e^{j\theta}=cos\theta+jsin\theta\)

所以任何一個弦波我們都能寫成

\(s(t)\)
\(=A\angle \theta\) …相量式
\(=Ae^{j(\omega t+\theta)}\)…..歐拉公式Euler formula
\(=Acos(\omega t+\theta)+jAsin(\omega t+\theta)\) …….展開式

雖然我們要的東西只存在於實數,但只要加上虛數的部分就能輕易畫出向量,若你有好幾個波形要相加只需要把它們的向量全部加起來之後,就知道最後波形的振福與相位角了,這實在太方便了。

真不巧相量Phasor與向量Vector在中文兩個音是一樣的,所以很容易搞混,我只能說Phasor一定是個vector,但是vector它不見得是個Phasor,至少在電力與通訊的領域中我是這樣理解的。

三相交流電

所謂三相交流電就是供電方式需要用到三個相位,因此需要三條電線,也就是所謂的三相交流電。之所以會有三相是因為發電機組本身的物理結構就包含了三組線圈,每組線圈間隔120度,產生出來的電壓電流彼此也就相隔120度。

Phase sequence
Phase sequence

三相電有相序Phase sequence的分別,接反了馬達會反轉,不像一般家裡的單相電正插反插電風扇都轉同一邊,所以相序很重要。一般以相量圖逆時針旋轉時若依序到達0度的標示為R-S-T的話稱為正相序,R-T-S稱為負相序。這也就是說,三相電源的任兩條交換的話,馬達就會反轉。

Three phase waveform - positive sequence
Three phase waveform – positive sequence

如果你不知道相序,可以用相序表檢查,我曾經聽說有工廠的供電相序在停電之後復電時,由於台電的相序接錯導致抽風機馬達反轉,而且噪音頗大我想這樣應該很傷機器。如果你的機器很寶貴,禁不起一次的反轉,可以接上變相器,讓你的機具馬達相位都不會變。

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