諧波失真 THD-衡量訊號純度的指標

各位可能有聽過 THD 諧波失真 或者有時也稱為 總諧波失真，尤其是音響玩家、電源工程師或是通訊工程師，一定對諧波失真很在意，現在就讓我們來了解一下到底甚麼是 THD(Total Harmonic Distortion)總諧波失真。

弦波的純與不純

假設你有一台放大器，想當然爾，它的輸出波形理論上應該要與輸入波形相同，差別只是振福要變大，這樣才叫放大器。於是你輸入了一個純弦波，如下圖的紫色波形，而在輸出端的波形則如下圖綠色波形，乍看之下很完美， 但仔細看的話，這個綠色的輸出波形似乎哪裡怪怪的。

沒錯，仔細看的話，你會發現是綠色波形的底部較圓，頂部較尖，這明顯不是對稱弦波該有的形狀，也就是說放大器的輸出跟原來的弦波有點不一樣，稱為失真(Distortion)，但這到底是怎麼發生的呢?

諧波失真 來自非線性系統

所謂諧波就是在原本預期的頻率f之外，又莫名多了2f、3f、4f等等的整數倍頻率，這些頻率是哪裡來的呢?

如果系統的輸入與輸出是完全線性的，那麼輸出就會是如預期的等比例放大，下圖的紫色曲線就是一個線性系統的Output/Input特性曲線，因為是直線所以兩者呈現等比例的關係。但現實並不完美，為了舉例我特別做了一個非線性的特性曲線，如下圖綠色的曲線，由於非線性它會讓輸出的波形變形，所以你會看到綠色output有上尖下圓的變形。

那麼為何非線性系統會造成諧波呢? 這裡我要引用數學囉，上圖的綠色曲線數學式如下：

\(y=x+0.3x^2\) 非線性特性曲線

由於有平方項次，所以特性曲線會有向上彎的傾向，我還特別用大一些的0.3係數讓它彎得有感。那這樣的特性曲線會產生怎樣的諧波失真呢? 直接把\(sin(wt)\)當作x代入上面的特性曲線公式，我們來看看會得到甚麼結果，如下公式：

\(y=0.15+sin(wt)-0.15sin(2wt+90^{\circ})\)

原本只有\(sin(wt)\)的弦波，現在卻多了\(sin(2wt)\)二倍頻出來，這是因為系統曲線有平方項次的關係，如果系統有三次方項次，結果就會變成\(sin(3wt)\) 三倍頻出現。所以放大器的諧波，其實是系統自己產生的，基本上不會有完美的線性放大器，因此在音響領域上，便會提倡與諧波共存，甚至把諧波當成機器的特色。

THD 公式定義

為了衡量諧波產生的比例，工程師定義了一個公式，它把基頻之外的倍頻rms值全部加起來，然後跟基頻rms相比較，於是會得到一個百分比，這就稱為總諧波失真THD。

\(THD=\frac{\sqrt{V_{2}^{2}+V_{3}^{2}+V_{4}^{2}+\cdots}}{V_{1}}\)

諧波失真 的實例

我不是音響玩家，沒有百萬音響，但有一台跟廠商借來的電源分析儀，另外我有一台遠紅外線照明燈，它的亮度是由雙向閘流體TRIAC來對電流做On/Off控制，因此電流會不連續，它的波形也不會是漂亮的弦波電流，請看下圖藍色波形是電壓，紅色波形是電流。

既然不是連續的弦波電流，波形一定會出現銳利的轉折點，那必定會出現很大的諧波，我們來觀察一下。下圖左方是電壓的諧波圖，右方是電流的諧波圖，由於電壓波形仍為弦波，因此幾乎看不到高頻諧波，但電流波形由於有截斷的不連續現象，因此在1、3、5等奇次諧波上，會看到很高頻的諧波出現。

這台儀器只能看電源，如果你是要看音響級的東西，可能就要用到Audio Precision這種設備，雖然聲音只有2聲道，但若要測試到吹毛求疵的地步也是可以讓人很瘋狂。

分辨 諧波 與 諧波失真

這裡要說明諧波和諧波失真是不一樣的事情，我們從音叉說起，音叉可以產生很純的弦波，早期做聽力檢查時用的就是音叉，聽起來悶悶的很無聊，沒錯! 這就是一個純弦波的聲音，它沒有其他的頻率，就是一個很純的單一頻率。

相較之下鋼琴的聲音飽滿許多，木琴的聲音則較為清脆，各有各的特色，明明基礎頻率Fundamental frequency都一樣，怎麼聽起來”感覺”怎麼差這麼多? 那是因為音叉之外的所有東西，它們所發出的聲音，除了包含我們希望它發出的基礎頻率之外，它們還會順帶產生各種頻率，裡面包含了整數倍頻的聲音，我們稱為諧波Harmonic，也有非整數倍頻的聲音稱為分音Partial，這些非基礎頻率的聲音頻率統稱為泛音，它們決定了樂器的音色。

如果沒有泛音，所有的樂器聽起來都會是又悶又無聊的弦波聲，還好現實中任何物體都能發出各種頻率的聲音，豐富了我們的生活，因為物體震動時，會自然地產生各種整數與非整數的頻率波，這些諧波是自然存在的。

但若說到 諧波失真 ，如前面所說它是由於系統的非線性特性造成，讓輸出波形與原來不同，因而多了不同的頻率出來，這些諧波是後來才產生的，原先並不存在，因此稱為諧波失真，它強調的點在於它失真的方式是由諧波來呈現。

所以諧波是一個天然震動狀態下的頻率組合，而諧波失真則是用來敘述失真的形式，是以諧波的方式來呈現。畢竟失真的形式有很多種，雜訊、相位、諧波都有可能，諧波失真只是其中的一種而已。