諧波失真 THD-衡量訊號純度的指標

各位可能有聽過 THD 諧波失真 或者有時也稱為 總諧波失真,尤其是音響玩家、電源工程師或是通訊工程師,一定對諧波失真很在意,現在就讓我們來了解一下到底甚麼是 THD(Total Harmonic Distortion)總諧波失真。

弦波的純與不純

假設你有一台放大器,想當然爾,它的輸出波形理論上應該要與輸入波形相同,差別只是振福要變大,這樣才叫放大器。於是你輸入了一個純弦波,如下圖的紫色波形,而在輸出端的波形則如下圖綠色波形,乍看之下很完美, 但仔細看的話,這個綠色的輸出波形似乎哪裡怪怪的。

純弦波與失真的諧波
純弦波與失真的諧波

沒錯,仔細看的話,你會發現是綠色波形的底部較圓,頂部較尖,這明顯不是對稱弦波該有的形狀,也就是說放大器的輸出跟原來的弦波有點不一樣,稱為失真(Distortion),但這到底是怎麼發生的呢?

諧波失真 來自非線性系統

所謂諧波就是在原本預期的頻率f之外,又莫名多了2f、3f、4f等等的整數倍頻率,這些頻率是哪裡來的呢?

如果系統的輸入與輸出是完全線性的,那麼輸出就會是如預期的等比例放大,下圖的紫色曲線就是一個線性系統的Output/Input特性曲線,因為是直線所以兩者呈現等比例的關係。但現實並不完美,為了舉例我特別做了一個非線性的特性曲線,如下圖綠色的曲線,由於非線性它會讓輸出的波形變形,所以你會看到綠色output有上尖下圓的變形。

非線性系統造成 諧波失真
非線性系統造成 諧波失真

那麼為何非線性系統會造成諧波呢? 這裡我要引用數學囉,上圖的綠色曲線數學式如下:

\(y=x+0.3x^2\) 非線性特性曲線

由於有平方項次,所以特性曲線會有向上彎的傾向,我還特別用大一些的0.3係數讓它彎得有感。那這樣的特性曲線會產生怎樣的諧波失真呢? 直接把\(sin(t)\)當作x代入上面的特性曲線公式,我們來看看會得到甚麼結果,如下公式:

\(y=0.15+sin(wt)-0.15sin(2wt+90^{\circ})\)

原本只有\(sin(wt)\)的弦波,現在卻多了\(sin(2wt)\)二倍頻出來,這是因為系統曲線有平方項次的關係,如果系統有三次方項次,結果就會變成\(sin(3wt)\) 三倍頻出現。所以放大器的諧波,其實是系統自己產生的,基本上不會有完美的線性放大器,因此在音響領域上,便會提倡與諧波共存,甚至把諧波當成機器的特色。

THD 公式定義

為了衡量諧波產生的比例,工程師定義了一個公式,它把基頻之外的倍頻rms值全部加起來,然後跟基頻rms相比較,於是會得到一個百分比,這就稱為總諧波失真THD。

\(THD=\frac{\sqrt{V_{2}^{2}+V_{3}^{2}+V_{4}^{2}+\cdots}}{V_{1}}\)

諧波失真 的實例

我不是音響玩家,沒有百萬音響,但有一台跟廠商借來的電源分析儀,另外我有一台遠紅外線照明燈,它的亮度是由雙向閘流體TRIAC來對電流做On/Off控制,因此電流會不連續,它的波形也不會是漂亮的弦波電流,請看下圖藍色波形是電壓,紅色波形是電流。

Triac的紅色電流波形呈現不連續的狀態
Triac的紅色電流波形呈現不連續的狀態

既然不是連續的弦波電流,波形一定會出現銳利的轉折點,那必定會出現很大的諧波,我們來觀察一下。下圖左方是電壓的諧波圖,右方是電流的諧波圖,由於電壓波形仍為弦波,因此幾乎看不到高頻諧波,但電流波形由於有截斷的不連續現象,因此在1、3、5等奇次諧波上,會看到很高頻的諧波出現。

電壓(左)與電流(右)的 諧波失真 狀況
電壓(左)與電流(右)的 諧波失真 狀況

這台儀器只能看電源,如果你是要看音響級的東西,可能就要用到Audio Precision這種設備,雖然聲音只有2聲道,但若要測試到吹毛求疵的地步也是可以讓人很瘋狂。

分辨 諧波 與 諧波失真

這裡要說明諧波和諧波失真是不一樣的事情,我們從音叉說起,音叉可以產生很純的弦波,早期做聽力檢查時用的就是音叉,聽起來悶悶的很無聊,沒錯! 這就是一個純弦波的聲音,它沒有其他的頻率,就是一個很純的單一頻率。

相較之下鋼琴的聲音飽滿許多,木琴的聲音則較為清脆,各有各的特色,明明基礎頻率Fundamental frequency都一樣,怎麼聽起來”感覺”怎麼差這麼多? 那是因為音叉之外的所有東西,它們所發出的聲音,除了包含我們希望它發出的基礎頻率之外,它們還會順帶產生各種頻率,裡面包含了整數倍頻的聲音,我們稱為諧波Harmonic,也有非整數倍頻的聲音稱為分音Partial,這些非基礎頻率的聲音頻率統稱為泛音,它們決定了樂器的音色。

如果沒有泛音,所有的樂器聽起來都會是又悶又無聊的弦波聲,還好現實中任何物體都能發出各種頻率的聲音,豐富了我們的生活,因為物體震動時,會自然地產生各種整數與非整數的頻率波,這些諧波是自然存在的。

但若說到 諧波失真 ,如前面所說它是由於系統的非線性特性造成,讓輸出波形與原來不同,因而多了不同的頻率出來,這些諧波是後來才產生的,原先並不存在,因此稱為諧波失真,它強調的點在於它失真的方式是由諧波來呈現。

所以諧波是一個天然震動狀態下的頻率組合,而諧波失真則是用來敘述失真的形式,是以諧波的方式來呈現。畢竟失真的形式有很多種,雜訊、相位、諧波都有可能,諧波失真只是其中的一種而已。

3 Comments

  1. 所以主頻帶出來的2,3,4,5…乃至於高階混頻厚的贅餘訊號都可稱之為諧波?

    另外想請教所謂的數位失真是指哪種失真形式呢?

    是指做資料壓縮時,讓資料簡化的過程中遺失某些字元嗎?

    求指教

    謝謝

    • 回答您的問題
      1. 是, 只要是與主頻同起同滅的整數倍頻, 都稱為諧波, 多高頻都一樣
      2. 數位失真我知道的有兩個面向, 以聲音來說
      取樣的部分: 是兩個取樣點之間的類比原始資料消失了, 再還原的時候只能盡量做到一樣, 不會與原來完全一樣, 還原的資料與原始資料的差異就是數位失真
      壓縮的部分: 把取樣的原始資料從時域轉換為頻域, 在頻域把適當的高頻資料除去之後資料量變少, 要用時再還原回時域, 那時的資料會跟原來不同, 但一般聽不出來差異

      只要是取樣一定是這一點和下一點, 差別只是這取樣點之間有多靠近而已
      無論多靠近, 兩個取樣點之間總是會有個時間差,

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