虛功率-實功率-視在功率-功率因數: 一次搞懂它

你一定聽過功率的單位是瓦特Watt(實功率),但你可能較少聽過乏Var(虛功率)這種功率單位,另外若你有買過不斷電系統UPS應該有看過這種功率單位伏安VA(視在功率),明明就是功率而已為何會有這麼多種單位? 阿信助教就來為各位解釋這幾種功率的差別。

實功率-Real Power-瓦特Watt

一般我們講功率,通常是指實功率的計算,也就是直接把電流與電壓相乘。基本上是這樣沒錯,但是不同條件下會有更細緻的算法,我分述如下。

直流功率

直流功率很簡單,幾乎有學過基礎電學的人都知道,直接將電壓I與電流V相乘,這樣的計算方式很好理解沒有太大問題。

\(P_{dc}=I_{dc}\times V_{dc}\) ….DC power (Watt)

交流功率

但在交流電上來說,功率的計算就不這麼直觀了。由於電壓與電流不斷的正負交替,兩者在每分每秒的乘積也會隨著時間變大變小。為了方便計算,工程師們會利用方均根RMS(root mean square)值來等效電壓與電流的直流值,RMS神奇的地方就是,當你把電壓與電流各自的RMS值相乘之後,會與實際的功率相同,我們先討論純電阻負載的情況,所以RMS才稱為等效的直流值。

交流電會由於不同的負載特性可能會讓電壓與電流出現相位差(白話文稱為時間差),這個差異在直流電上是不存在的,因為直流電不會變化,沒有相位差。所以當我們敘述交流電的功率時,就需要各種面向的觀察,因此也產生了實功率、虛功率、視在功率種種不同的名詞,以下我們先從相位差開始。

無相位差-電阻性負載-實功率

當負載的電流I與電壓V沒有相位差時,兩者同上同下,在任一瞬時相乘算出來的功率都為正數,也就是純粹的消耗功率,請參考後面章節的Fig 2,這種用來消耗能量的原件稱為電阻,因此I/V間無相位差的負載,稱為電阻性負載。下面公式是以I/V的RMS值來計算,結果會與瞬時功率沿著時間積分起來相同。

\(P_{avg}=I_{rms}\times V_{rms}\) ….AC average power for resistive load

另外要提醒的是,RMS本身已經有平均的概念了,所以才稱為等效的直流電壓與電流,兩個RMS乘出來的功率稱為平均功率,而非功率的RMS,基本上也沒有這種名詞,至少我沒聽過。當然在數學上如果硬要把功率套入RMS公式來算當然也可以,只是這樣做似乎沒有甚麼應用。

有相位差-電抗性負載-虛功率

當負載的電流與電壓存在相位差時,兩者在某些時刻會出現一正一負的情況,在此瞬間相乘算出來的功率為負數,也就是釋放功率,講白一點就是釋放儲存能量的意思。相反的,電壓電流在某些時刻也有同正同負的時候,也就是吸收或效耗能量,因此能量就像是呼吸一般的收放。

能用來收放能量的東西稱為儲能原件,電子元件裡只有兩個東西有這功能,一個是電容Capacitor它可以緩和電壓變化、另一個是電感Inductor它可以緩和電流變化,由於他們會收放能量,看起來好像很忙,但整個週期下來其實總功率為零,因此在現實世界沒有做功,但在電力的分析上我們對於沒有實際貢獻的功率稱為虛功率,後面會針對虛功率做說明。

另外關於電容與電感的特性,我簡單摘要一下:電容對於電壓變化有阻擋的趨勢,稱為容抗電感對於電流變化有阻擋的趨勢,稱為感抗,容抗與感抗統稱為電抗,因此I/V間存在相位差的負載,稱為電抗性負載。

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現實世界的負載功率

在絕大部分的情況之下,負載都會同時呈現電阻性與電抗性,因為任何負載都會有寄生電容、寄生電感,電抗會讓I/V之間呈現相位差,所以真正的功率公式要修正為如下的公式。實際生活中的風扇、冷氣壓縮機、冰箱的馬達,只要有線圈的東西都屬於電抗性負載。

\(P=\frac{1}{T}\int_{T}^{\, }I(t)V(t)\)

基本上這個公式是個通則,任何實功率公式都可以從這裡導出。

虛功率-Reactive Power-乏VAR

既然電抗Reactance會讓電壓與電流出現相位差,那麼接下來的問題就是有了相位差會發生甚麼事?

相位差導致做功不完全

我們先來看看下面這個電路,它的負載由電阻與電感組成,因此它不是純粹的電阻性負載,而是包含了一些電感性電抗Inductive reactance。

Fig 1. Inductive load circuit
Fig 1. Inductive load circuit

我們把R1與L1分開來討論,如下圖所示R1的V與I完全同相位,同時間內兩者同正同負,彼此的乘積會永遠都是正數,表示功率完全消耗在負載R1上。

Waveform of resistive load R1
Fig 2. Waveform of resistive load R1

而下圖的L1是電感性的負載,它會讓電壓與電流的相位錯開90度,V與I的相位一旦錯開,它們彼此的乘積會變成有時為正功率有時為負功率,而且在一個週期內的正負功率相等所以總功率為零,相乘之後功率波形如下,等於完全做白工。

Waveform of inductive load L1
Fig 3. Waveform of inductive load L1

純電阻性阻抗電壓電流沒有相位差,純電感或純電容的阻抗會讓電壓電流產生90度的相位差,而一般的電路是由電阻、電感、電容組成的,因此相位差或稱相位角\(\theta\)會介於正負90度之間。

虛功率不做功

剛才我們討論的正負抵銷的功率都還是在實功率的討論範圍,即便是功率為零,也都還是實功率為零。至於虛功率Reactive power(VAR)是多少? 如下圖,\(Reactive\; power\: =Apparent\: power\times sin\theta\),其中\(\theta\)就是電壓與電流的相位角,又稱功因角,視在功率Apparent power就是電壓電流的RMS乘積。

Power triangle and formula
Fig 4. Power triangle and formula

為何會有三角函數出現? 功率為何又會出現在複數平面的虛軸上? 實際上虛功率並不存在於自然界,它是我們利用數學創造出來的東西,這一切只是為了方便做電力分析而產生的概念。

所以現在假想一下,若相位角為零,那麼視在功率(VA)完全就等於實功率(W),隨著相差增加,實功率減少虛功率(Var)增加,直到相差為90度,虛功率最大。

這裡採用了數學上的分析方法-相量分析Phasor,後面我會簡單介紹一下相量分析如何變成上面的公式。

虛功率怎麼來的

回到上面討論的電路,電感性元件的實功率出現負值的意思就是-電感會釋放能量,因為既然正功率表示吸收能量,那麼負功率當然就是釋放能量。所以電感電抗短時間內看起來有吃進能量,但一會兒之後它又把能量吐出來,在單一週期內一來一往加總之後會完全抵銷,所以沒有任何能量消耗掉,也就是L1並沒有做功。

這些沒做功的能量會再送發電端,它會跟線路上正再傳送的能量相對抗,所以會造成發電機的負荷增加。為了利用相量分析來敘述這件事情,工程師們把視在功率Apparent power在虛軸的投影量,給它一個單位稱為VAR,中文稱為”乏”,也就是我們所稱的虛功率;同樣的,視在功率在實軸的投影量,就是我們熟悉的W瓦特。

工程師們並不是把電抗吐出來的功率稱為虛功率,只要你還能利用電壓、電流測量得到的東西,無論正負,都還是在實功率的範圍,虛功率是為了分析而合理創造出來的東西。

虛功率會增加電力傳輸的負擔

虛功率在實際的電力傳輸系統中是要盡量去避免的,因為電力公司確實有傳送電壓與電流到用戶端,但是這些能量卻因為相位差導致無法做功,這表示能量白走一趟,既然能量沒有在用戶端消耗掉,客戶自然不需要付錢,實際上虛功率也轉不動瓦時計,但是電力公司卻要扎扎實實的花大錢架設配電線路,因為就算是虛功,一樣會有電流經過電線,於是它就會發熱,就需要更多的投資來維護,然而花了成本卻沒有利潤,這樣電力公司就會虧錢。

一般家庭用戶電抗用量少,例如風扇、冷氣,台電不太會跟你計較虛功率,帳單上歸類為”表燈非營業用戶”,所以台電只幫你裝了瓦時計,那只能算實功率。

但開工廠的人一定擁有很多馬達等等的電感性設備,它的虛功率一定比較多,此時台電也不是省油的燈,對於工廠這種電力用戶,他們稱為營業用戶或是高壓用電戶,台電除了安裝瓦時計之外,還會安裝乏時計,如此一來若乏時過高台電就會來跟你收虛功率的錢,在帳單上你就會看到一項功率因數調整費,它畢竟不是慈善事業。不過現在的電子式電度表,兩者同時都可以測量到了,不知以後會不會連家庭用電也收功率因數調整費。

無論是哪種用電戶台電必須想辦法盡量減少電壓與電流的相位差,有時你會發現電線杆上除了電線與變壓器之外,偶爾還會看到電容器,這就是用來降低相位差用的,或者說是用來提高功率因數用的。

現在很多所謂PC用的電源供應器有80 Plus標章就是標榜在電源輸入端有加裝功率因數校正器PFC(Power factor correction),可以讓功率因數大於0.9,輸電效率更好。

RLC如何運用能量

比較一下電阻R、電感L與電容C等元件在使用能量上的差異,電阻是將能量完全吃下去後轉化為熱能,所以電阻是耗能元件,它的作用通常用在製造電位差。而電容、電感等元件,它們會吸收以及釋放能量,所以它們是儲能元件,它們通常用在防範突波、穩壓,類似避震器的效果,經過特別設計與組合還能夠移相或濾波。

視在功率-Apparent Power-伏安VA

接下來我要解釋何謂視在功率Apparent Power,為了方便說明我會用到一點數學,我會把電壓、電流以及平均功率以相量phasor來表示,因為這樣較容易理解。

視在功率由來

沿用上面的RL並聯電路,既然已經有了電壓與電流的波形,我直接把R與L的電壓電流波形用相量Phasor來表示如下:

\(\vec{V}=Ve^{j0}\), 橫跨R1, L1的電壓
\(\vec{I_{R}}=I_{R}e^{j0}\), R1的電流
\(\vec{I_{L}}=I_{L}e^{-j \frac{\pi}{2}}\), L1的電流
負載總電流\(\vec{I}=\vec{I_{R}}+\vec{I_{L}}\)

上述L1的電流角度為何是\(-\frac{\pi }{2}\)? 這需要解微分方程式才有辦法解釋這個相位差是怎麼來的,這個數學題我們就先當作已知吧! 接著我們上面的式子依照電壓電流的相量畫出來如下圖。

Phasor of voltage and current
Fig 5. Phasor of voltage and current

當我們計算平均功率\(P_{avg}=I_{rms}\times V_{rms}\;\)的時候,必須先把電壓電流的振幅各別乘以 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)才能得到RMS值(這是以弦波來說)。由於我是以電壓V做為參考點,所以V的相角自然是零,所以V是實數,當它與不同元件的電流相乘的時候,就等於把I這個向量放大縮小,所以得到的平均功率的Phasor角度與I相同,R1與L1的功率相量如上圖。

\(P_{R}=\frac{IV}{2}cos \theta\), for R1
\(P_{L}=\frac{IV}{2}sin \theta\), for L1
總功率 \(P=\frac{IV}{2}\)

\(P_{R}\)是電阻R1的功率,相位角是零所以是向右的箭頭,表示為實功率Real power,單位是瓦特Watt;\(P_{L}\)是電容L1的功率,相位角是\(-\frac{\pi }{2}\)也就是-90度角,是向下的箭頭,表示為虛功率Reactive power,單位是乏Var。從電源端來看整個負載是R1與L1並聯的總合,總功率是\(P=\sqrt{P_{R}^{2}+P_{L}^{2}}\),我們稱為視在功率Aparent power,單位定義為伏安VA。

這就是所謂的功率三角Power triangle,它把實功、虛功、視在功率彼此的關係做了很完整的詮釋,如下圖。

Power triangle
Fig 6. Power triangle

“視在功率”這個名詞實在有點饒口,但它的原文Apparent power也確實包含了顯而易見的意思,原因就在於視在功率相對容易觀察與計算,無論電壓與電流的相位差是多少,只需要將電流與電壓的RMS直接相乘就能得到視在功率,也就是電表的V、I讀值直接相乘就能得到。

以下圖為例,I與V之間存在有相位差,若將兩者的振幅直接相乘除2所得到的平均功率值P=IV/2就稱為視在功率。但是若將當下的i(t)與v(t)相乘,則會得到如下圖第二張圖的功率波形,這就是瞬間實功率的波形。

當I/V之間完全同相時,功率波形是個放在零軸上的波形,它的組成全部是正數;當I/V之間開始有相位差出現時,實功率波形便開始漸漸往下沉,也就是說有部分的功率為負數,因此總功率開始變小;當I/V相位差達到90度時,功率波形有50%為正數50%為負數,總功率為零,也就是實功率為零。

Apparent power waveform
Fig 7. Apparent power waveform

視在功率的意義

視在功率就是要告訴你供電端的能力在哪裡? 假設負載端全部為電阻性,那麼供電端就能保證你能得到這麼多能量。但是若負載端放了一堆電抗設備導致I/V之間產生相位差,那麼用電端實際得到的功率就會打折。

我舉個極端的例子,假設工廠的電源線的直徑在規劃的時候是用電阻性負載來規劃,但實際上卻使用了一堆馬達也就是電感性負載,雖然實際耗用的功率沒增加,但因為虛功率太多,台電為了輸出相同的實功率,需要更大的電流來達成,此時就可能超過電線容量,容易產生高熱引發火災,另外對台電來說太多的相位差會影響系統運轉,可說損人不利己。

由於供電端無法預期用電端會接甚麼設備,因此只能以I/V相乘後的視在功率敘述自己的供電能力。這也就是為何不斷電系統都以VA來標示供電能力的原因。

那你可能會問為何PC的power supply都以瓦數W標示? 因為主機板向來都吃直流電,所以主機板端沒有功率因數的問題,但是Power supply與市電之間就有功率因數的問題了,因此大部分的Power內部都會有功率因數修正電路PFC。

功率因數-Power factor

剛才提過若用戶端接了太多電抗,讓電壓與電流之間產生相位差\(\theta\),那麼Real power就會小於Apparent power,參考上面的功率三角我們就能知道這個打折的比例為:

\(Power factor=\frac{\left | W \right |}{\left | S \right |}=cos\theta\)

這個比例就稱為功率因數,所以它是個介於0~1的值,想當然爾我們會希望功率因數越大越好,甚至等於1。但實際上電力公司會希望留個5%的空間讓它操作,所以台電希望功率因數不要超過95%,以免電壓偏高;相反的台電也不希望功率因數低過80%,這樣電壓會偏低,電力系統運轉困難。

本文同步刊登於Makerpro.cc 【實作實驗室】一次搞懂虛功率、實功率、視在功率與功率因數

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24 Comments

  1. 請問,台電供給工廠電力,通常這個供給電力換算出來的功率,是不能算功率因素的,因為功率因素取決於工廠內電抗的多寡,但廠內如果有電抗設備,那麼算出來的功率就要算功率因素,不知道這樣的邏輯是否正確?

    • 我看得懂你想表達的意思, 我不會說你錯, 只能說不夠嚴謹

      以嚴謹的角度來看
      功率因數 是由 實功率 與 虛功率 共同決定, 沒有取決於誰的問題
      因為無論有沒有電抗設備, 功率因數都可以計算
      差別只是 電抗為零 功率因數=1 ; 電抗不為零 功率因數界於0~1之間

      所以你表達的內容應該說成: 廠內有電抗設備 會讓台電投以關注的眼光, 所以工業用電它一定會跟你計較功率因數

  2. 請問一下大大:
    無論電壓與電流的相位差是多少,只需要將電流與電壓的RMS直接相乘就能得到視在功率,在依照您前面所說,當你把電壓與電流各自的RMS值相乘之後,會與實際的功率相同,兩者總結
    視在功率 = 實際功率 = Vrms*Irms,也就是說,用rms算出來的功率有包含虛功率(視在功率= 實功率平方+虛功率平方),是這樣嗎?

    • 不是的, 這裡我可能要把文章再修一下

      “當你把電壓與電流各自的RMS值相乘之後,會與實際的功率相同”
      我寫這句話只是要說明RMS的作用, 是建立在負載為電阻的情況之下而做的敘述, 我會再修辭一下 以免誤解

      你的視在功率少了一個平方
      正確關係式為
      視在功率的平方 = 實功率的平方 + 虛功率的平方

      • 抱歉,視在功率少打個平方….
        在請問一下,一台設備(擁有電阻與電抗負載)用Vrms*Irms算出來的功率,稱為什麼功率?
        算出來的功率是否要再乘上功率因素才更為準確?

          • 那麼依照以上說法,再改一下,一台設備(擁有電阻與電抗負載),用峰值電壓*峰值電流算出來的功率,稱為什麼功率?
            算出來的功率是否要再乘上功率因素? 來求得實功率

          • 1. 有相位差的情況下, 峰值電壓*峰值電流算出來的功率, 雖然能算得出來 , 但物理上沒有意義
            2. 沒有意義, 就不需要討論功率因數了
            物理現象 可以找 數學做工具來解釋推演
            但數學可以做到的計算, 物理上不見得有意義

  3. 您好,您說RMS神奇的地方就是,當你把電壓與電流各自的RMS值相乘之後,會與實際的功率相同,所以RMS才稱為等效的直流值
    再請教相一個關問題,Arms(等效電流)、 峰值電流、峰值因素電流,這三者的差異? 謝謝

    • Arms: 電流的方均根值
      峰值電流: 電流的振幅
      峰值因素: 用來評估電源能力的參考, 可用來避免瞬間電流超過峰值

    • 您好,您說,由於電壓與電流不斷的正負交替,兩者在每分每秒的乘積也會隨著時間變大變小。為了方便計算,工程師們會利用方均根RMS(root mean square)值來等效電壓與電流的直流值
      請問 :
      1. 所謂每分每秒的乘積隨時間大不同,可以解釋為因為有電抗造成相位差?
      2. 測量出來的 Arms ( 電流有效值 ),是不是也可以解釋為在不考慮虛功率狀態下的數值 ?
      3. RMS 的定義 ?
      4. RMS 與 虛功率 的關係?
      謝謝指教

      • 先回答您的問題
        1. 不能這樣解釋, 乘積不同是交流電的關係 與相位差無關
        2. 不能這樣解釋, 這兩個是不同的量綱
        3. RMS在維基百科 與 數學 電學 課本都有 您可以自行搜尋
        4. 這兩個是不同的東西, 沒有所謂關係, 只有合不合用
        一個是計算平均值的方法, 一個是功率

        我建議您若有興趣學電子, 可以去修學分課
        或是線上課程, 工程數學也可以修一下
        因為你的提問明顯超過你的理解範圍
        若將基礎補足 會幫助你很多

  4. 你好,您說: 開工廠的人一定擁有很多馬達,它的虛功率一定比較多,此時台電也不是省油的燈,對於工廠這種電力用戶,除了安裝瓦時計之外,還會安裝乏時計

    想問一下
    1. 既然虛功率一個週期後就會互相抵消,所以到乏時計應該為0不是嗎?
    2. 如果虛功率一個週期被抵銷,那麼,實際上台電只有實功率的電流輸出,台電方面為甚麼還要再出更大的電流供應這個虛功率的消耗?

    • 感謝你, 你一定很認真看文章, 我發現我有寫錯, 讓你誤會了, 所以做了部分修改
      回答你的問題
      1. 能互相抵消的能量 仍然在實功率的範圍, 虛功率的定義是 視在功率於虛軸的投影量
      所以 相差90度 瓦時計一個週期 能量仍為零
      但乏時計 一個周期之後 能量等於 視在功率x時間 滿點
      2. 虛功率太大 雖然電流有輸出, 電壓也存在, 但因為相位不同, 沒辦法對負載做功
      另外 虛功率沒有消耗能量 只是把能量又送回台電 造成台電輸電效率低落

      • 再請教一個問題 :
        功率因素,簡單來說就是,實功率(W)在總功率(視在功率VA)占了多少百分比對吧!
        比如: 功因70%,就是指實功率(W)占了總功率(視在功率VA) 70% ,虛功率佔30% 沒錯吧 ?

        如果以上沒錯的話,那麼公式不就可以寫成,視在功率(VA) = 實功率(W)+ 虛功率(Var)
        那為何下方有個公式是 : 視在功率(VA)的平方 = 實功率(W)的平方 + 虛功率(Var)的平方
        為什麼我把功率因素的概念套進來,公式會搭不起來,有哪一部分我搞錯了嗎? 請指教

        • 你弄錯的地方是 你仍然用實功率的觀點來看待虛功率 ,所以才會把W, VAR彼此直接加減乘除
          實際上W, VAR, VA他們彼此是相量的關係, 你要用向量的運算才能處理它
          文章內有很大篇幅提到相位角, 與相量分析
          你需要的答案 就在裡面
          我昨天已經在文字與圖形上有做修改, 你可以再看一次

          • 恩恩? 有一點不明白,Powerfactor = |W| / |S| = 實功率佔視在功率的比例,這沒問題
            那麼如果改一下 |Q| / |S| 虛功率佔視在功率的比例,這樣也沒錯對吧?
            是否也成立 ?

          • 是沒錯, 只是要定義一個新名詞給 |Q|/|S|
            目前我還沒看到有這樣的名詞, 頂多只寫sin(theta)
            應用面上 一般關心實功率較多, 所以才定義了PF, 或是寫為cos(theta)

  5. 所以不見虛功率的能量跑去哪裡了?看到樓上的回答還是不太清楚(不好意思),是會被台電又抽回去嗎,造成能量一直傳送但最後都沒有消耗掉

    • 虛功率釋放能量時的電流 , 與台電的方向相反
      所以宏觀來說, 台電的電流會變小, 或是它很難送電的意思
      雖然台電沒有抽回去這種裝置
      但你要說 把能量抽回去 , 我也不能說錯, 因為只送95%, 就等同抽掉5%

      極端的例子就是沒有負載, 電流為零
      意思就是台電能量送不出去, 或者說 能量100%反彈回來

  6. 那請問一下
    既然虛功率會被電感吃掉又再吐出來
    那不是一樣把電能傳到設備上了嗎?只是比較晚而已

    就像是雨下下來,被儲存在水庫,晚一點才變成民生用水
    (這個例子不知道舉的好不好,希望有比較好懂)

    • 電感是等效在設備內的
      如果能量還會吐出來, 表示電能沒有做功
      也就是 電能確實有進到設備 , 但沒有轉化成其餘的能量形式, 就吐出來了

      水庫的例子
      應該說 一缸子水在兩個水庫內轉來轉去
      沒有變成民生用水

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