虛功率-實功率-視在功率-功率因數: 一次搞懂它

你一定聽過功率的單位是瓦特Watt(實功率),但你可能較少聽過乏Var(虛功率)這種功率單位,另外若你有買過不斷電系統UPS應該有看過這種功率單位伏安VA(視在功率),明明就是功率而已為何會有這麼多種單位? 阿信助教來為各位解釋這幾種功率的差別。

實功率-Real Power-瓦特Watt

一般我們講功率,也就是實功率的計算,就是直接把電流與電壓相乘,概念上是這樣沒錯,但是不同條件下會有更細緻的算法。

直流功率

直流功率直接將電壓與電流相乘,這樣的計算方式在直流電上很好理解沒有太大問題。

\(P_{dc}=I_{dc}\times V_{dc}\) ….DC power (Watt)

交流功率-電阻性

但在交流電上來說,由於電壓電流不斷的正負交替,如果用一般的算術平均一個週期之後會得到零,所以我們會用I與V的方均根值RMS來等效直流的電壓電流,兩者相乘所得到的功率稱為平均功率,它的公式與直流功率相同。這裡我要特別強調這個公式只適用於電阻性負載,因為只有電阻性負載的I/V相位會完全相同。

\(P_{avg}=I_{rms}\times V_{rms}\) ….AC average power for resistive load

另外要提醒的是,RMS本身已經有平均的概念了,所以才稱為等效的直流電壓與電流,兩個RMS乘出來的功率稱為平均功率,而非功率的RMS,基本上也沒有這種名詞,至少我沒聽過。當然在數學上如果硬要把功率套入RMS公式來算當然也可以,只是這樣做似乎沒有甚麼應用。

交流功率-電抗性

在絕大部分的情況之下,負載都會同時呈現電阻性與電抗性,電抗會讓I/V之間呈現相位差,所以真正的功率公式要修正為如下的公式。實際生活中的風扇、冷氣壓縮機、冰箱的馬達,都屬於電抗性負載。

\(P=\frac{1}{T}\int_{T}^{\, }I(t)V(t)\)

基本上這個公式是個通則,只要I/V彼此沒有相位差,前兩個實功率公式都可以從這裡導出。

虛功率-Reactive Power-乏VAR

既然電抗Reactance會讓電壓與電流出現相位差,那麼接下來的問題就是有了相位差會發生甚麼事?

虛功率來自電抗

我們先來看看下面這個電路,它的負載由電阻與電感組成,因此它不是純粹的電阻性負載,而是包含了一些電感性電抗Inductive reactance。

Inductive load circuit
Inductive load circuit

我們把R1與L1分開來討論,如下圖所示R1的V與I完全同相位,同時間內兩者同正同負,彼此的乘積會永遠都是正數,表示功率完全消耗在負載R1上。而下圖的L1是電感性的負載,它會讓電壓與電流的相位錯開90度,V與I的相位一旦錯開,它們彼此的乘積會變成有時為正功率有時為負功率,而且在一個週期內的正負功率相等所以總功率為零,相乘之後功率波形,我會在後面幾個段落秀出。

Inductive load waveform
Inductive load waveform

電感性電抗的功率出現負值的意思就是-電感會釋放能量,因為既然正功率表示吸收能量,那麼負功率當然就是釋放能量。所以電感電抗短時間內看起來有吃進能量,但一會兒之後它又把能量吐出來,在單一週期內一來一往加總之後會完全抵銷,所以沒有任何能量消耗掉,也就是L1並沒有做功,這種沒做功的能量我們給它一個單位稱為VAR,中文稱為”乏”,也就是我們所稱的虛功率。

虛功率會增加電力傳輸的負擔

虛功率在實際的電力傳輸系統中是要盡量去避免的,因為電力公司確實有傳送電壓與電流到用戶端,但是這些能量卻因為相位差導致無法做功,這表示能量白走一趟,既然能量沒有在用戶端消耗掉,客戶自然不需要付錢,但是電力公司卻要扎扎實實的花大錢架設配電線路,因為就算是虛功,一樣會有電流經過電線,於是它就會發熱,就需要更多的投資來維護,然而花了成本卻沒有利潤,這樣電力公司就會虧錢。

因此電力公司必須想辦法盡量減少電壓與電流的相位差,有時你會發現電線杆上除了電線與變壓器之外,偶爾還會看到電容器,這就是用來降低相位差用的,或者說是用來提高功率因數用的。

適當的虛功率是必要的

只要是電容電感等儲能元件,V與I的相位必然相差90度,與電阻性負載連接之後,一定會有相位差出現。一般家庭用戶電抗用量少,例如風扇、冷氣,台電不太會跟你計較虛功率。但是工廠等用電大戶的馬達功率大數量又多,台電就會要求這些大客戶的虛功率不能太高,否則若功率因數掉到某個程度以下,它會要你多付錢。

比較一下電阻、電容與電感等元件在使用能量上的差異,電阻是將能量完全吃下去後轉化為熱能,所以電阻是耗能元件,它的作用通常用在製造電位差。而電容、電感等元件,它們會吸收以及釋放能量,所以它們是儲能元件,它們通常用在防範突波、穩壓,類似避震器的效果,經過特別設計與組合還能夠移相或濾波。

視在功率-Apparent Power-伏安VA

接下來我要解釋何謂視在功率Apparent Power,為了方便說明我會用到一點數學,我會把電壓、電流以及平均功率以相量phasor來表示,因為這樣較容易理解。

視在功率由來

沿用上面的RC串聯電路,假設通過這個串聯電路各個元件的電壓電流如下:

\(\vec{V}=Ve^{j0}\), 橫跨R1, L1的電流
\(\vec{I_{R}}=I_{R}e^{j0}\), R1的電流
\(\vec{I_{L}}=I_{L}e^{-j \frac{\pi}{2}}\), L1的電流
負載總電流\(\vec{I}=\vec{I_{R}}+\vec{I_{L}}\)

上述L1的電流角度為何是\(-\frac{\pi }{2}\)? 這需要解微分方程式才有辦法解釋這個相位差是怎麼來的,這個數學題我們就先當作已知吧! 接著我們上面的式子依照電壓電流的相量畫出來如下圖。

Phasor of voltage and current
Phasor of voltage and current

當我們計算平均功率\(P_{avg}=I_{rms}\times V_{rms}\;\)的時候,必須先把電壓電流的振幅各別乘以 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)才能得到RMS值(以弦波來說)。由於電壓V的相角為零,所以V是實數,當它與I相乘的時候,就等於把I這個向量放大縮小,所以平均功率的Phasor角度與I相同,R1與L1的功率相量如上圖。

\(P_{R}=\frac{IV}{2}cos \theta\), for R1
\(P_{L}=\frac{IV}{2}sin \theta\), for L1
總功率 \(P=\frac{IV}{2}\)

\(P_{R}\)是電阻R1的功率,相位角是零所以是向右的箭頭,表示為實功率Real power,單位是瓦特Watt;\(P_{L}\)是電容L1的功率,相位角是\(-\frac{\pi }{2}\)也就是-90度角,是向下的箭頭,表示為虛功率Reactive power,單位是乏Var。從電源端來看整個負載是R1與L1並聯的總合,總功率是\(P=\sqrt{P_{R}^{2}+P_{L}^{2}}\),我們稱為視在功率Aparent power,單位定義為伏安VA。

這就是所謂的功率三角Power triangle,它把實功、虛功、視在功率彼此的關係做了很完整的詮釋,如下圖。

Power triangle
Power triangle

“視在功率”這個名詞實在有點饒口,但它的原文Apparent power也確實包含了顯而易見的意思,原因就在於視在功率相對容易觀察與計算,無論電壓與電流的相位差是多少,只需要將電流與電壓的RMS直接相乘就能得到視在功率。

以下圖為例,I與V之間存在有相位差,若將兩者的振幅直接相乘除2所得到的平均功率值P=IV/2就稱為視在功率。但是若將當下的i(t)與v(t)相乘,則會得到如下圖第二張圖的功率波形,這就是瞬間實功率的波形。

當I/V之間完全同相時,功率波形是個放在零軸上的波形,它的組成全部是正數;當I/V之間開始有相位差出現時,實功率波形便開始漸漸往下沉,也就是說有部分的功率為負數,因此總功率開始變小;當I/V相位差達到90度時,功率波形有50%為正數50%為負數,總功率為零,也就是實功率為零。

Apparent power waveform
Apparent power waveform

視在功率的意義

視在功率就是要告訴你供電端的能力在哪裡? 假設負載端全部為電阻性,那麼供電端就能保證你能得到這麼多能量。但是若負載端放了一堆電抗設備導致I/V之間產生相位差,那麼用電端實際得到的功率就會打折。

我舉個極端的例子,假設工廠的電源線的直徑在規劃的時候是用電阻性負載來規劃,但實際上卻使用了一堆馬達也就是電感性負載,雖然電費沒增加,但為了出現相同的實功率,需要更大的電流來達成,一但超過容量電線就融掉了,容易引發火災,另外對台電來說太多的相位差會影響系統運轉,可說損人不利己。

由於供電端無法預期用電端會接甚麼設備,因此只能以I/V相乘後的視在功率敘述自己的供電能力。這也就是為何不斷電系統都以VA來標示供電能力的原因。

那你可能會問為何PC的power supply都以瓦數標示? 因為主機板向來都吃直流電,所以主機板端沒有功率因數的問題,但是Power supply與市電之間就有功率因數的問題了,因此大部分的Power內部都會有功率因數修正電路PFC。

功率因數-Power factor

剛才提過若用戶端接了太多電抗,讓電壓與電流之間產生相位差\(\theta\),那麼Real power就會小於Apparent power,參考上面的功率三角我們就能知道這個打折的比例為:

\(Power factor=\frac{\left | W \right |}{\left | S \right |}=cos\theta\)

這個比例就稱為功率因數,所以它是個介於0~1的值,想當然爾我們會希望功率因數越大越好,甚至等於1。但實際上電力公司會希望留個5%的空間讓它操作,所以台電希望功率因數不要超過95%,以免電壓偏高;相反的台電也不希望功率因數低過80%,這樣電壓會偏低,電力系統運轉困難。

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