Smith Chart 史密斯圖 怎麼用-高頻電路的好幫手

接觸過電磁學的人應該有看過史密斯圖 Smith Chart ，它是設計微波電路的好幫手，雖然現今有各種CAD軟體輔助設計，但在阻抗匹配上面的理解與視覺呈現上，Smith Chart絕對是勝出的，無人能出其右。

本篇文章只會針對Smith Chart與傳輸線做摘要式的總覽，重點會放在Smith Chart的基本使用方式。我並不打算說明Smith Chart如何產生，因為這會扯出傳輸線理論，那可是會有一長串的公式導證過程，而這段過程的細節在所有的電磁學課本內都有，所以大家自己看書就可以。

傳輸線 Transmission Line

我們一般常用的有線電視電纜線，或是Wifi機器內連接用的訊號線，都屬於傳輸線的一種，甚至PCB上面的trace線也是傳輸線，當頻率越來越高，波長越來越短時，我們就必須以傳輸線模型來考慮訊號的傳遞了。

例如當訊號頻率在100MHz時波長有3公尺，但如果是Wifi訊號的5GHz頻段，波長就只剩6公分，在這個時候，因為波長很短，甚至短過PCB板的尺寸，表示在同一個瞬間，在PCB導線上的不同位置會出現不同的電壓電流，因此需要不同的思維來考慮電路，也就是傳輸線理論的價值所在。

由於波長短的緣故，在高頻電路的設計上，傳輸線的長度、元件尺寸、介電常數等等都須納入考慮，這與以往的電路考量是非常不同的。

下圖兩條金屬線就是很典型的傳輸線，末端再放個負載\(Z_{L}\)，接著就可以探討電波輸入端的阻抗，光是這樣就可以算到昏天暗地了，後面我會說明如何利用Smith Chart簡化計算，當然用CAD軟體會更迅速，但我們還是得學點前人的真功夫，畢竟Smith Chart還是相當視覺化的，很方便用來溝通。

上面傳輸線的輸入端反射率，經過一連串複雜的計算之後，公式如下：

\(\Gamma (l) =\frac{V_{reflected}}{V_{incient}}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}e^{-j2\beta l} =\Gamma _{0}e^{-j2\beta l} \)

\(Z_{L}\)是負載阻抗、\(Z_{0}\)是特徵阻抗、\(l\)是傳輸線長度，至於 \(\beta \)則是角波數，它的概念與時域的角頻率\(w\)是一樣的，但頻率這個詞已經被時域用掉了，所以電壓在空間距離上的變化我們稱為波數，詳情可以參考這篇波長與週期-到底誰是誰-別搞混了。\(\beta \)與\(Z_{0}\)是材料特性，不同材料會有不同的值。

如果傳輸線的特徵阻抗\(Z_{0}\)與負載阻抗\(Z_{L}\) 不同，反射率不為零，表示阻抗不匹配，此時入射波就會發生反射，你可以回想在透明玻璃上仍會隱約看到自己的影像，這是一樣的道理，因為玻璃與空氣的介質不同，造成部分光線反射。

若訊號傳輸過程中有發生反射，等於自己干擾自己，這時就需要在傳輸線上做些改變，甚至加上一些元件來讓反射變小，這個過程稱為阻抗匹配，但無論是改導線長度還是加元件，PCB板都已經洗好固定了，要怎麼改? 這時就只有花錢再做一塊板子囉，這就是為何老經驗的射頻工程師較有價值的原故，因為他可以幫老闆省下開發費用，當然這種人相對來說也較為不善言辭，常常讓老闆又愛又恨。

你可能有發現為何反射率公式裡面會有虛數? 那是因為當初求解傳輸線波動微分方程式的時候，是以複數型式的訊號\(V(x)e^{jwt}\) 代進去求解，所以算出來的反射率也會有虛數出現，這個虛部可以反映電波的相位差，這通常是電容或電感效應造成的，各位可以參考這篇虛功率-實功率-視在功率-功率因數: 一次搞懂它，雖然講的是電力系統，但是儲能元件造成相位差的道理是一樣的。

特徵阻抗

傳輸線圖中的\(Z_{0}\)稱為特徵阻抗，屬於材料特性，我們一般在外面買的同軸電纜線有分為50 ohm/75 ohm指的就是特徵阻抗，特徵阻抗並不是導線電阻，我還特別寫了一篇來講這件事，請看這篇阻抗 75Ohm 的同軸Cable與 75Ohm 的電阻-兩者別搞混。

下圖是一條名為LMR-400的50 ohm電纜線，它的官方資料很詳細，連單位長度的電容電感值都有標示出來，如黃色框框所示，我們就來驗算看看它的值合不合理。

根據電磁學理論，在低耗損的傳輸線中，特徵阻抗的公式如下：

\(Z_{0}=\sqrt{\frac{L}{C}}\)

然後把黃色方框內的電感值與電容值代入公式中，就可以得到特徵阻抗是51.75 ohm。咦! 為什麼不是剛好50 ohm? 因為這是現實世界，可能是當時取樣有誤差、Cable生產時有誤差，也可能是原廠當時測試的時候，儀器本身的誤差，總之它一定不會剛好是50 ohm，但會是個很接近50 ohm的值。

我想這些Cable大廠都會自己做規格的抽樣檢驗，畢竟我們會驗算的東西，原廠一定自己也算過。但話說回來，紙上的資料畢竟只是參考而已。若要真正驗證手頭上的Cable是不是50 ohm，省錢一點的作法是你可以利用50 ohm的終端電阻測試看看是否有反射波，這部分請參考這篇 同軸電纜壓接頭檢測-利用反射波一翻兩瞪眼 ，高階一點的測法可能就需要網路分析儀了。

導線長度與反射率

剛剛的反射率公式包含了一個歐拉公式\(e^{-j2\beta l}\)，歐拉公式本身在複數平面上是以一個單位圓來呈現，它的次方項有個導線長度\(l\)，如果導線長度變長的話，反映在複數平面的變化就會是，以圓點為中心，由目前的反射率順時針行走的變化，你可以將它視為下圖的極座標表示型式\(\Gamma =\Gamma _{0}\angle (-j2\beta l)\)。

當然，要看得到這種變化，前提是反射率必須不為零，這樣才有半徑可言，這個半徑就是\( \Gamma_{0}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}} \)，半徑不為零\(\Gamma_{0}\) 才能夠轉圈圈，我們才能看得到反射率變化；如果反射率等於零，半徑也等於零，不管導線多長多短，反射率全都只會是一個中心點。

關於這個半徑的範圍我們來推論一下，由於負載阻抗 \(Z_{L}\) 會介於短路Short與開路Open之間，所以\(Z_{L}\)的值會介於\(0\sim\infty \)之間，因此 \( \Gamma_{0} \)的值會介於-1和1之間。

以下就是負載阻抗 \(Z_{L}\) 與特徵阻抗 \(Z_{0}\) 在三種特別情況的時候，反射率的振幅會呈現甚麼狀況：

• \( \Gamma_{0}=-1 \) 表示負載短路Short
• \( \Gamma_{0}=0 \) 表示負載阻抗匹配Impedance Match，無反射
• \( \Gamma_{0}=1 \) 表示負載開路

所以不管你怎麼算，反射率 \( \Gamma\) 一定只存在於半徑 \( \Gamma_{0} \)的圓內，這個圓就是將來Smith Chart的外框。

反射率的功能

你一定有發現負載短路時的半徑 \( \Gamma_{0} \) 怪怪的，它可以是負數嗎? 可以，那就視為正半徑繞了180度，但就物理上來說這又是甚麼意思呢?

如果反射率的半徑 \( \Gamma_{0} \) 是正數，表示反射波會同相位反射回來；若 \( \Gamma_{0} \) 是負數，表示反射波會反相位反射回來，這部分我在時域上有做過實驗，各位可以參考 同軸電纜壓接頭檢測-利用反射波一翻兩瞪眼 的後半段，如果你用繩子綁牆壁來做實驗也會得到相同結果。

為何反射率在高頻電路中的地位舉足輕重? 因為它與大部分的參數有關係，可以有見微知著的效果。

透過反射率\(\Gamma\)在複數平面的位置，我們就可以視覺化的知道，現在的反射率是多少。前面有提到反射率外圈的最左邊與最右邊，可以表示負載的Short(阻抗為零)與Open(阻抗無窮大)，那是否意味著其實反射率的這個圈圈內的任一點，與負載阻抗有某種關係? ，答案是肯定的，這個反射率的圓圈內，只要再加上相對應的阻抗，就能做到反射率與阻抗可以利用視覺來運算，所以Smith Chart就此誕生。

反射率怎麼測量

反射率又稱為\(S_{11}\)參數，它是S參數的其中一個，導證過程也是很繁雜，這裡就先不介紹S參數的細節， \(S_{11}\) 的量則需要靠網路分析儀Network Analyzer，它能同時發射與接收訊號，才有辦法測量入射波與反射波。

你一定覺得奇怪，測試反射率的儀器為何會稱為”網路”分析儀，那是因為在電子電路裡面，每個由元件兜出來的小電流迴路，稱為Mesh，很多mesh湊起來就變成一個Network，這跟現今TCP/IP網路世界的Network是不同的。

Smith Chart 史密斯圖

下面這張看起來像貝殼的圖，就是史密斯圖 Smith Chart，它的特色就是在反射率的複數平面上，順便也把輸入阻抗的實部與虛部標示上去，也就是說 Smith Chart 連結了反射率與輸入阻抗，於是瞬間我們就可以直接從圖上快速的在輸入阻抗與反射率之間做轉換，我認為這是劃時代的發明。即便是現在科技如此發達，在反射與阻抗的呈現上Smart Chart仍然佔有一席之地。

來個實際使用Smith Chart的例子，讓你知道它多好用，根據前面傳輸線的電路，假設負載 \(Z_{L}=100+j25.5\) ，特徵阻抗 \(Z_{0}=50\)，那麼入射端的反射率應該是多少?

基本上只要找到對應阻抗的實部與虛部，就可以作答了，但是上圖中的實部R為何是2而不是100 ? 因為上圖是正規化版本的Smith Chart，它會把所有的阻抗都先除以\(Z_{0}\)，或是說以 \(Z_{0}\)為基準之後，再來看反射率，這樣不會影響反射率的結果，好處是在任何阻抗系統都可以使用這張圖表，這樣就不用印好幾種版本。

回到剛剛的例子，原本的 \(Z_{L}=100+j25.5\)，正規化之後就會變成\(Z_{L}=R+jX=2+j0.5\)，在上圖中所有緊靠右邊的圓都是阻抗的實部，於是我們找到R=2這個圓，接著另外找到從右邊發散的放射狀曲線，這些表示阻抗的虛部，於是再找到X=0.5的曲線。最後在R圓與X曲線的交會處，就是我們要找的輸入阻抗，而且還可以得出反射率大約是\(0.37\angle 17.3^{\circ}\)。

實際阻抗的Smith Chart

雖然正規化的Smith Chart看來很萬能，但我個人較偏好以實際特徵阻抗標示的圖，因為這樣就不需要在把特徵阻抗乘回來，多做一次計算，以前是因為一張Smith Chart的圖紙，要給所有的特徵阻抗用，所以需要正規化。現在有電腦輔助工具了，要甚麼阻抗都有，所以我就偏好使用實際阻抗的圖。

快速計算導納

在做阻抗並聯計算的時候，把阻抗改用導納來處理會較方便，因為這樣會變成單純的加法，但如何利用Smith Chart快速計算導納呢? 拿\(Z_{L}=25+j25\)當作範例，若需要計算導納Y的話，只需要把Smith Chart轉180度，就能輕易得知。

導納是阻抗的導數，單位稱為姆歐Mho(\(\Omega^{-1}\))，後來這個單位統稱為西門子S：

\(Y=\frac{1}{Z}=G+jB\; (S)\)

下圖的左方有一個重疊的Smith Chart，它就是轉180度之後的圖，所以同一個點的 \(Z_{L}=25+j25\)只需要觀看旋轉之後的圖，就能知道 \(Y=20m-j20m \)，光用眼睛看就知道導納值，這真是很酷的工具。

傳輸線長度

若負載阻抗不是剛好50 ohm的話，那麼傳輸線長度的增減會改變反射率，由於反射率的公式當初在推導的時候，是以負載端當作長度為零，因此傳輸線長度增長的話，表示長度是往訊號源延伸，因此阻抗點會順時針旋轉，轉一圈是1/2個波長，轉半圈是1/4波長。

假設負載是50+j50 ohm如下圖的DP1，工作頻率為2.4G Hz，此時波長為125mm，若傳輸線長度為30mm，那麼隨著傳輸線長度增加，輸入阻抗會順時針繞大約1/4個波長來到DP2也就是26.7-j28.2 ohm。

阻抗匹配

接著就來試著利用Smith Chart做阻抗匹配，假設電路要工作在4G Hz，負載阻抗為25+j10 ohm，該怎麼做才會讓輸入端變成50 ohm呢? 我的做法是先拉一條23mm長的傳輸線，再串一個1.5nH的電感，就能達成阻抗匹配，如下圖。

注意這張圖的負載在左邊，輸入阻抗在右邊。

整個過程其實看下圖Smith Chart上的軌跡就知道為何要這樣配，先看負載點DP1，它的位置在25 ohm的圓上，我想把它弄到50 ohm的圓上，所以我利用加長傳輸線距離，讓反射率以圓點為中心順時針繞到DP2，至於這個傳輸線的距離是try出來的，我在軟體上對長度加加減減，結果是23mm的長度會讓阻抗落在50 ohm的圓上面。

接下來就要想辦法讓反射率落在原點，既然目標中心點已經是在DP2實部圓的順時針方向，我就採用串聯電感來達成，因為串電感會讓虛部增加，所以也是慢慢try，刻意讓DP3落在反射率的原點，也就是阻抗50+j0 ohm的點，這樣就達成匹配了。

雖然剛剛的阻抗已經做好匹配，但你要知道那只在4G Hz的時候匹配，隨著頻率變高或變低，波長也會改變，這表示剛剛傳輸線選的23mm長度，在其他頻率就不再適用了，那所謂不適用到底是差多少呢?

我們把頻率範圍從2G Hz開到6GHz，你就可以在下圖看到一條紅色的軌跡，這就是傳輸線的頻率響應Frequency Response，頻率響應這件事情目前只有模擬軟體能做，單看Smith Chart做不到，因為這需要類似Spice這種功能。

上圖的F-span就是2G Hz，F+span就是6G Hz，你會發現越靠近4G Hz就越靠近中心的匹配點，頻率越遠，輸入阻抗早已不知飄到哪裡去了，所以其實窄頻通訊比較好設計，寬頻通訊要顧慮的面向較多，相對比較困難。

希望這篇文章可以讓各位理解Smith Chart的基本用法，關於利用網路分析儀測試同軸電纜的理論與實務差異，請看 反射率 S11 實測-同軸電纜/終端電阻 在Smith Chart長甚麼樣子 。

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