在音響的音量旋鈕上經常會看到dB這個字樣，而且最小的音量還會標示為負值，例如-90 dB 之類的。為何音量標示不直接用0~100就好了，而要使用一個看起來很不直覺的標示方式? 本文將為各位解釋分貝(decibel/dB)是怎麼來的。
有感與無感
如下圖，假設公司的加薪方式有A與B兩種，你會選哪一種
- A 每月等距增加1萬元
- B 每月倍數增加2倍
我想大多數人都會選擇B，因為這種加薪幅度超有感；反觀A，第二年是第一年的2倍，到了第六個月卻是前一個月的1.2倍，倍數縮小了因此越來越無感。
自然界只對倍數有感
科學上有一種計量方式，可將倍數化為線性，經過轉換後，只要數字較大的值就表示真的”很大“，讓科學家較容易比大小。
這種轉換很類似人類的感官，我舉兩個例子：
- 琴鍵上高兩個8度，耳朵只覺得音調”等距”高了2階，但其實頻率已經變為\(2^{2}=4\)倍了
- 地震芮氏規模的每個量級之間，人們只覺得震度固定增加一階，但能量其實差了32倍
不知各位對於上列事情有無同感? 這種將倍數化為線性的概念，就是分貝dB的原始構想。
dB 分貝
在數學上唯一能將倍數化為線性的函數就是對數，例如10倍、100倍、1000倍可以分別轉換為1、2、3這樣簡單的數字，因此在工程上分貝的定義就是以log函數做轉換，因此有了下列的公式：
\(A=10\,log(\frac{P}{P_{ref}})\) dB for power quantity
\(A\)為dB數，\(P\)為功率，\(P_{ref}\)為參考功率
以上的公式專門用來衡量能量的大小，這些量稱為power quantity，若衡量的對象是電壓V、電流I、聲壓SPL之類的，這些屬於場量field quantity，那麼公式前面的10會變成20：
\(A=20\,log(\frac{F}{F_{ref}})\) dB for field quantity
\(A\)為dB數，\(F\)為場量，\(F_{ref}\)為參考場量
我們把分貝的倍數列成表格大家就比較清楚了，基本上就是能量比有2個零的話，dB數就會是2開頭，以此類推。所以dB只要增加一點，實際的倍數可是增加很多的喔。
3dB是甚麼
我們在工程領域經常會看到3dB這個字樣，精確一點來說應該是3.01dB，它代表的就是2倍的意思，各位可以套用上面的公式 10log2=3.01，算出來就是3dB，如果是1/2算出來就會是-3dB。為何3dB這麼重要? 這跟人的主觀有關係，因為人對於兩倍或一半的敘述比較有感覺，假設你的身家財產變成原來的一半，相信你也會有所警覺，相同的道理也套用在工程界，只要大小超過3dB我們就會認為偏大，如果變為-3dB我們就會認為它算是偏小。
Log前面為何有10
只用log所得出的數值有個特別的單位稱為貝(B, Bel)，但這個數值有點偏小，所以科學家才會再弄一個十分之一Bel的單位，也就是分貝(dB, Decibel)。
所以dB的公式必須在log之前乘上10，也就是1B=10dB。
Log前面為何有20
第二個公式裡的20是怎麼來的呢? 由於dB是以能量(power)的觀點來出發的，若計量的數值是場(Field)，例如電壓電流之類，我們得將它換成能量才能算dB。
看個電功率的例子，電壓 \(V\)與電流\(I\)需要平方才會與功率同級數
\(power=\frac{V^{2}}{R}=I^{2}R\) , \(V\)=電壓, \(I\)=電流
所以
\[A=10\,log(\frac{P}{P_{ref}})=10\,log(\frac{F^{2}}{F_{ref}^{2}})=20\,log(\frac{F}{F_{ref}})\]
再來看聲壓sound pressure的例子，聲壓\(p\)要平方之後才會與功率同級數
\(Sound\; Power=\frac{Ap^{2}}{\rho c}cos\theta\) , \(A\)=面積, \(p\)=聲壓, \(\rho\)=密度, \(c\)=速度
所以場量的dB公式前面的20就是從平方演變過來的。
音量的 dB
根據上面的公式，我們知道dB是與某個基準\(F_{ref}\)比較的倍數得來的，他是一個倍數的表示法。但用在音量測量上，是以多少來當作基準呢? 音量的dB是以聲壓\(20\mu Pa\)為基準，這個聲壓據信是人可以聽到的最小聲音。
100 dB的噪音，聲壓並不是\(20\mu Pa\)的100倍喔，而是10萬倍。
一樣的增量 不同的能量
來看個數字的比較，聲壓的120dB與100dB在數值上雖然多了20%, 但在聲壓上可是多了10倍喔，你會覺得音量大很多。而2 Pa與2.2Pa在聲壓雖然多了20%，但你不會覺得音量有差別。
所以dB值得好處就是，只要數值大的一方，就真的是很大，這樣大家應該弄清楚了吧。
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