dB 分貝是甚麼-音響與工程上常見的計量方式

在音響的音量旋鈕上經常會看到dB這個字樣,而且最小的音量還會標示為負值,例如-90 dB 之類的。為何音量標示不直接用0~100就好了,而要使用一個看起來很不直覺的標示方式? 本文將為各位解釋分貝(decibel/dB)是怎麼來的。

有感與無感

如下圖,假設公司的加薪方式有A與B兩種,你會選哪一種

  • A  每月等距增加1萬元
  • B  每月倍數增加2倍

我想大多數人都會選擇B,因為這種加薪幅度超有感;反觀A,第二年是第一年的2倍,到了第六個月卻是前一個月的1.2倍,倍數縮小了因此越來越無感。

薪水等距增加只會越來越無感
薪水等距增加只會越來越無感

自然界只對倍數有感

科學上有一種計量方式,可將倍數化為線性,經過轉換後,只要數字較大的值就表示真的”很大“,讓科學家較容易比大小。

這種轉換很類似人類的感官,我舉兩個例子:

  • 琴鍵上高兩個8度,耳朵只覺得音調”等距”高了2階,但其實頻率已經變為\(2^{2}=4\)倍了
  • 地震芮氏規模的每個量級之間,人們只覺得震度固定增加一階,但能量其實差了32倍

不知各位對於上列事情有無同感? 這種將倍數化為線性的概念,就是分貝dB的原始構想。

dB 的原始構想-琴鍵上等距離的八度音,頻率其實是呈倍數增長的
琴鍵上”等距離“的八度音,頻率其實是呈”倍數“增長的

dB 分貝

在數學上唯一能將倍數化為線性的函數就是對數,因此在工程上分貝的定義就是以log函數做轉換,因此有了下列的公式:

\(A=10\,log(\frac{P}{P_{ref}})\) dB   for power quantity

\(A\)為dB數,\(P\)為功率,\(P_{ref}\)為參考功率

以上的公式專門用來衡量能量的大小,這些量稱為power quantity,若衡量的對象是電壓V、電流I、聲壓SPL之類的,這些屬於場量field quantity,那麼公式前面的10會變成20:

\(A=20\,log(\frac{F}{F_{ref}})\) dB    for field quantity

\(A\)為dB數,\(F\)為場量,\(F_{ref}\)為參考場量

我們把分貝的倍數列成表格大家就比較清楚了,基本上就是能量比有2個零的話,dB數就會是2開頭,以此類推。所以dB只要增加一點,實際的倍數可是增加很多的喔。

Log前面為何有10

只用log所得出的數值有個特別的單位稱為貝(B, Bel),但這個數值有點偏小,所以科學家才會再弄一個十分之一Bel的單位,也就是分貝(dB, Decibel)。

所以dB的公式必須在log之前乘上10,也就是1B=10dB。

Log前面為何有20

第二個公式裡的20是怎麼來的呢? 由於dB是以能量(power)的觀點來出發的,若計量的數值是場(Field),例如電壓電流之類,我們得將它換成能量才能算dB。

看個電功率的例子,電壓 \(V\)與電流\(I\)需要平方才會與功率同級數

\(power=\frac{V^{2}}{R}=I^{2}R\)  ,  \(V\)=電壓, \(I\)=電流

所以

\[A=10\,log(\frac{P}{P_{ref}})=10\,log(\frac{F^{2}}{F_{ref}^{2}})=20\,log(\frac{F}{F_{ref}})\]

再來看聲壓sound pressure的例子,聲壓\(p\)要平方之後才會與功率同級數

\(Sound\; Power=\frac{Ap^{2}}{\rho c}cos\theta\)  ,   \(A\)=面積, \(p\)=聲壓,  \(\rho\)=密度,  \(c\)=速度

所以場量的dB公式前面的20就是從平方演變過來的。

音量的 dB

根據上面的公式,我們知道dB是與某個基準\(F_{ref}\)比較的倍數得來的,他是一個倍數的表示法。但用在音量測量上,是以多少來當作基準呢? 音量的dB是以聲壓\(20\mu Pa\)為基準,這個聲壓據信是人可以聽到的最小聲音。

100 dB的噪音,聲壓並不是\(20\mu Pa\)的100倍喔,而是10萬倍。

一樣的增量 不同的能量

來看個數字的比較,聲壓的120dB與100dB在數值上雖然多了20%, 但在聲壓上可是多了10倍喔,你會覺得音量大很多。而2 Pa與2.2Pa在聲壓雖然多了20%,但你不會覺得音量有差別。

所以dB值得好處就是,只要數值大的一方,就真的是很大,這樣大家應該弄清楚了吧。

 

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